贡献者：addis预备知识求导法则

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预备知识求导法则

一个一元函数 $y=f(x)$ 可导，如果导函数 $y'=f'(x)$ 仍可导，则称 $y'=f'(x)$ 的导数为函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记为

\begin{equation}y'',\quad f''(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^2y} }{ \,\mathrm{d}{x^2} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^2f} }{ \,\mathrm{d}{x^2} },\quad y''(x)~,\end{equation}

即

\begin{equation}y''=(y')',\quad\frac{ \,\mathrm{d}{^2y} }{ \,\mathrm{d}{x^2} }= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) ~.\end{equation}

由导数中的定义，可得二阶导数的计算公式

\begin{equation}f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x}~.\end{equation}

若把 $y=f(x)$ 的导数 $y'=f'(x)$ 称为 $y=f(x)$ 的一阶导数，那么，一阶导数的导数就称为二阶导数。若二阶导数 $y''=f''(x)$ 仍然可导高阶导数公式，我们就把二阶导数的数 $y''=f''(x)$ 的导数称为三阶导数，记为

\begin{equation}y''',\quad f'''(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^3y} }{ \,\mathrm{d}{x^3} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^3f} }{ \,\mathrm{d}{x^3} },\quad y'''(x)~.\end{equation}

一般地，如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数是可导的，我们就把 $n-1$ 阶导数的导数称为果 $y=f(x)$ 的n 阶导数高阶导数公式，记为

\begin{equation}y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^ny} }{ \,\mathrm{d}{x^n} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^nf} }{ \,\mathrm{d}{x^n} },\quad y^{(n)}(x)~,\end{equation}

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。利用求导公式和求导法则就可以求出高阶导数。